Question

【题目】已知椭圆的左焦点，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且的最大值为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线l过椭圆的左焦点，与椭圆交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由离心率和，可得，再根据椭圆上的任意一点P到的最大距离为，可知，再进行计算可得椭圆E的方程；（2）根据直线过定点，可以设直线AB的方程为，代入椭圆方程，根据韦达定理以及的面积为，求出m，可得直线的方程。

（1）设椭圆的标准方程为：，

∵离心率为 ，

∵点P为椭圆C上任意一点，且的最大值为，

，

解得，

∴椭圆E的方程为；

（2）因，与轴不重合，故设的方程为：，

代入得：，

其恒成立，设，则有，

， 又到的距离，

，

解得

的方程为：或.

（亦可用）.