Question

【题目】已知函数（），是自然对数的底数．

（1）当时，求的单调增区间；

（2）若对任意的，（），求的最大值；

（3）若的极大值为，求不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求出并整理为，结合即可求得函数的单调增区间.

（2）对的取值分类，当时，经检验，不合题意；当时，即可利用（1）求得的增减性，并求得时，最小值为，可将转化为，不妨设，则，利用导数即可求得最大值为，问题得解。

（3）当时，无极大值，当时，由的极大值为可求得，设，对范围分类，利用可得：当时，，结合即可得解。

（1）的定义域为．

因为，

令，因为，得， 因为，

所以的单调增区间是．

（2）当时，，不合题意；当时，令，得或，

所以在区间和上单调递减． 因为，且在区间上单调递增，

所以在处取极小值，即最小值为．若，，则，即．

不妨设，则．

设（），则．当时，；当时，，

所以在上单调递增；在上单调递减，所以，即，

所以的最大值为．

（3）由（2）知，当时，无极大值，

当时，在和上单调递增；在上单调递减，

所以在处取极大值，所以，即．

设，即，

当，，所以；

当，，

由（2）知，，又，所以，且不恒为零，

所以在上单调递增．不等式，即为，所以，

即不等式的解集为．