题目内容

设a为锐角，若cos（a+ $数学公式$ ）= $数学公式$ ，则sin（2a+ $数学公式$ ）的值为________．

$\text{[math]}$
分析：根据a为锐角，cos（a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 为正数，可得a+ $\text{[math]}$ 也是锐角，利用平方关系可得sin（a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．接下来配角，得到cosa= $\text{[math]}$ ，sina= $\text{[math]}$ ，再用二倍角公式可得sin2a= $\text{[math]}$ ，cos2a= $\text{[math]}$ ，最后用两角和的正弦公式得到sin（2a+ $\text{[math]}$ ）=sin2acos $\text{[math]}$ +cosasin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
解答：∵a为锐角，cos（a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴a+ $\text{[math]}$ 也是锐角，且sin（a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴cosa=cos[（a+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
sina=sin[（a+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由此可得sin2a=2sinacosa= $\text{[math]}$ ，cos2a=cos²a-sin²a= $\text{[math]}$
又∵sin $\text{[math]}$ =sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，cos $\text{[math]}$ =cos（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴sin（2a+ $\text{[math]}$ ）=sin2acos $\text{[math]}$ +cosasin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题要我们在已知锐角a+ $\text{[math]}$ 的余弦值的情况下，求2a+ $\text{[math]}$ 的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．