Question

（本题满分14分）

    已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂；且

    点在椭圆C上．

    (1)求椭圆C的方程；

    (2)过F₁的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF₂B的面积为，求以F₂为圆

       心且与直线l相切的圆的方程．

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)设椭圆的方程为，由题意可得：

    椭圆C两焦点坐标分别为F₁(-1,0），F₂(1,0)．  ………………2分

   

    ,又c=1, b²=4-l=3,

     故椭圆的方程为．…………4分

(2)当直线l⊥x轴，计算得到：

，不符合题意，…………………6分

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k(x+1)，

由，消去y得

显然△>O成立，设

则   ………………8分

又

即 '  …………………………………………10分

又圆F₂的半径     ……………………………11分

所以

化简，得，即，解得k=±1，……l3分

所以，，故圆F₂的方程为：(x-1)²+y²=2．……………l4分

(2)另解：设直线l的方程为x=ty-1，

由，消去x得，△>O恒成立，

设,则

所以

又圆F₂的半径为

所以，解得t²=1，

所以．故圆F₂的方程为：

 

【解析】略