Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 在五棱锥P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2a，PB＝PE＝a，BC＝DE＝a，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°． (1) 求证：PA⊥平面ABCDE； (2) 求二面角A－PD－E的大小； (3) 求点C到平面PDE的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：∵PA＝AB＝2a，PB＝2a， ∴PA2＋AB2＝PB2，∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB． 同理PA⊥AE．－－－－－－3分 ∵AB∩AE＝A，∴PA⊥平面ABCDE．－－－－－－－－5分
(2)	解：∵∠AED＝90°， ∴AE⊥ED． ∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED． ∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G， 过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE． 过G作GH⊥PD于H，连AH， 由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A－PD－E的平面角．－－－－－－－－8分 在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a， ∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴∠AHG＝arcsin． ∴二面角A－PD－E的大小为arcsin．－－－－－－－－10分
(3)	解：，， 取中点，连， 四边形为平行四边形． 而平面，平面 平面 点到平面的距离等于到平面的距离． 平面 又，平面PAE 平面．． 的长即为点到平面的距离．…………………………13分 在中，，为中点， 点到平面的距离为．……………………14分．