Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）当时，设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极小值；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）对a分类讨论，利用导数求函数的极值. （Ⅱ）先把问题转化为曲线在点，处的切线不重合，再利用反证法证明.

详解：（Ⅰ） ，

令，得．

①当时，与符号相同，

当变化时，，的变化情况如下表：

	↘	极小	↗

②当时，与符号相反，

当变化时，，的变化情况如下表：

	↘	极小	↗

综上，在处取得极小值.

（Ⅱ） ，

故 ．

注意到，，，

所以，，，使得．

因此，曲线在点，处的切线斜率均为.

下面，只需证明曲线在点，处的切线不重合.

曲线在点（）处的切线方程为，即．假设曲线在点（）处的切线重合，则．

令，则，且.

由（Ⅰ）知，当时，，故．

所以，在区间上单调递减，于是有矛盾.

因此，曲线在点()处的切线不重合．