题目内容

函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+ f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若 f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．
解：（1）证明：任取x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0．
∴f（x2﹣x1）＞1．
∴f（x2）=f [x1+（x2﹣x1）] =f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f（x1），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，
∴f（2）=3． ∴f（3m2﹣m﹣2）＜3=f（2）．
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m2﹣m﹣2＜2， 3m2﹣m﹣4＜0，
∴﹣1＜m＜ ．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；
（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．
如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函，下面四个函数：
①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f（x）=
xx2+x+1
．
其中属于有界泛函的是
 
．
如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，下面四个函数：①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f(x)=
x
x2+x+1

其中属于有界泛函数的是（　　）
A、①②B、①③C、③④D、②④
已知奇函数f（x）对任意的正实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，则一定正确的是（　　）
若函数f（x）对任意的实数x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”，
（1）判断g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
（2）若数列{xn}对所有的正整数n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
，设yn=sinxn，求证：|yn+1-y1|＜
1
4
．

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