Question

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函，下面四个函数：
①f（x）=1；②f（x）=x²；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f（x）=

x

x2+x+1

．
其中属于有界泛函的是

 

．

Answer 1

分析：先把原定义转化为求当x≠0时有最大值，当x=0时，|f（0）|≤0恒成立问题．
再分别对①②③④四个函数在x≠0时求最大值，有最大值符合定义，没最大值就不符合定义．

解答：解；因为|f（x）|≤M|x|恒成立 即为当x=0时，|f（0）|≤0恒成立，
当x≠0时，

|f(x)|

|x|

≤M恒成立，只要

|f(x)|

|x|

有最大值即可．
对于①f（0）=1不满足，故①不符合
对于②当x≠0时，

|f(x)|

|x|

=|x|无最大值，故②不符合
对于③当x≠0时，

|f(x)|

|x|

=|sinx+cosx|=

2

|sin（x+

π

4

）|有最大值

2

，故③符合
对于④当x≠0时，

|f(x)|

|x|

=|

1

x2+x+1

=

1

(x+ 1 2 ) 2+ 3 4

|有最大值

4

3

，故④符合
故答案为：③④

点评：本题是在新定义下考查恒成立问题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．