Question

（2006•宣武区一模）已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象经过原点O，且在x=1处取得极值，曲线y=f（x）在原点处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且切线l的倾斜角为钝角．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=mx²+（m-6）x的图象与函数y=f（x）的图象恰有3个不同交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象经过原点O，且在x=1处取得极值，曲线y=f（x）在原点处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，得到关于b，c，d的关系式，解出即得解析式；
（Ⅱ）将问题转化为x³-mx²+（3-m）x=0恰有3个不等实根，亦即方程x²-mx+3-m=0有两个非零且不等实根等价于

△=m2-4(3-m)＞0 3-m≠0

，解出即可得到m的范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）的图象过原点得d=0f'（x）=3x²+2bx+c
∵f（x）在x=1处取得极值∴f'（1）=3+2b+c=0      ①
f（x）在原点处切线l的斜率k=f'（0）=c，且c＜0    ②
又∵曲线y=f（x）在原点处的切线l与直线y=2x的夹角为45°
∴|

c-2

1+2c

|=1     ③
由①②③可求得，c=-3，b=0
∴f（x）=x³-3x…（7分）
（Ⅱ）若函数g（x）=mx²+（m-6）x的图象与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的交点，
即方程x³-3x=mx²+（m-6）x，亦即x³-mx²+（3-m）x=0恰有3个不等实根．
∵x=0是上述方程的一个根
∴方程x²-mx+3-m=0有两个非零且不等实根
∴

△=m2-4(3-m)＞0 3-m≠0

 
解得：m＜-6，或2＜m＜3，或m＞3
所以当实数m∈（-∞，-6）∪（2，3）∪（3，+∞）时，
函数g（x）=mx²+（m-6）x的图象与函数y=f（x）的图象恰有3个不同交点．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值、极值，考查导数的几何意义，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．