Question

（2013•永州一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，cosC=

2

3

．
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin（B-C）的值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，依题意可求得sinC，从而可得△ABC的面积；
（2）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+16-16=9可求得c，再由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

可求得sinB，继而可求得cosB，最后利用两角差的正弦即可求得sin（B-C）．

解答：解：（1）在△ABC中，
∵cosC=

2

3

，
∴sinC=

1-cos2C

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．    　　       …（2分）
∴S_△ABC=

1

2

absinC=2

5

．    　　　　　　　　　　 …（5分）
（2）由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcosC=9+16-16=9
∴c=3．                          …（7分）
又由正弦定理得，

c

sinC

=

b

sinB

，
∴sinB=

b•sinC

c

=

4× 5 3

3

=

4 5

9

．            　　　　 …（9分）
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

9

…（10分）
∴sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=

4 5

9

×

2

3

-

1

9

×

5

3

=

7 5

27

．   …（12分）

点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查同角三角函数间的基本关系，考查两角差的正弦，属于中档题．