Question

命题p；f^-1（x）是f（x）=1+2^x的反函数，且丨f^-1（a）丨＜1，命题q：不等式a²-a≤丨x+1丨+丨x-1丨对任意实数x恒成立，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p和命题q的等价条件，然后利用复合命题p或q为真命题，p且q为假命题，求出实数a的取值范围．

解答：解：因为f^-1（x）是f（x）=1+2^x的反函数，所以f^-1（x）=log₂（x-1），x＞1．
由丨f^-1（a）丨＜1，即|log₂（a-1）|＜1，
所以-1＜log₂（a-1）＜1，解得

1

2

＜a-1＜2，即

3

2

＜a＜3．
即p：

3

2

＜a＜3．￢p：a≥3或a≤

3

2

．
因为丨x+1丨+丨x-1丨≥2，所以不等式a²-a≤丨x+1丨+丨x-1丨对任意实数x恒成立，
则不等式a²-a≤2，即（a+1）（a-2）≤0，
解得-1≤a≤2．
即q：-1≤a≤2．￢q：a＞2或a＜-1．
因为p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q一真一假．
则p真q假，或p假q真，
则

3 2 ＜a＜3 a＜-1或a＞2

或

-1≤a≤2 a≤ 3 2 或a≥3

，解得2＜a＜3或-1≤a≤

3

2

．

点评：本题考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先将命题p，q进行等价转化是解决本题的关键．