Question

10．已知{a_n}是等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，a₁+a₂=b₄，b₁+b₂=a₂．
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n+b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设出公比和公差，根据等差、等比数列的通项公式，列出方程组求出公比和公差，再求出a_n、b_n；
（2）由（1）求出a_n+b_n，利用分组求和法、等比、等差数列的前n项和公式求出T_n．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，等差数列{b_n}的公差为d，
由a₁=b₁=1得，a_n=1×q^n-1，b_n=1+（n-1）d，
由a₁+a₂=b₄，b₁+b₂=a₂得，$\left\{\begin{array}{l}{1+q=1+3d}\\{2+d=q}\end{array}\right.$，
解得d=1，q=3，
所以a_n=3^n-1，b_n=n；
（2）由（1）得，a_n+b_n=n+3^n-1，
∴T_n=（1+3⁰）+（2+3）+…+（n+3^n-1）
=（1+2+…+n）+（3⁰+3¹+…+3^n-1）
=$\frac{n（1+n）}{2}+\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}（{3}^{n}+{n}^{2}+n-1）$．

点评 本题考查等差、等比数列的通项公式以及前n项和公式，分组求和法求出数列的和，考查方程思想，化简、计算能力．