Question

如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知△ABC中，∠ABC为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A∈l，（2）B∈α．则C、O两点间的最大距离为

 

．

Answer 1

分析：先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ABO=θ，C（x，y），C、O两点间的最大距离表示成2

2

sin（2θ+

π

4

）+3，最后结合三角函数的性质求出其最大值即可．

解答：解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，
以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，如图．
设∠ABO=θ，C（x，y），则有：
x=ABcosθ+BCsinθ
=2cosθ+sinθ，
y=BCcosθ
=cosθ．
∴x²+y²=4cos²θ+4sinθcosθ+1
=2cos2θ+2sin2θ+3
=2

2

sin（2θ+

π

4

）+3，
当sin（2θ+

π

4

）=1时，x²+y²最大，为2

2

+3，
则C、O两点间的最大距离为1+

2

故答案为：1+

2

．

点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．