Question

已知函数f（x）=cosx+

3

cos（x+

π

2

）（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最大值，并指出取得最大值时相应的x的值；
（2）设0≤φ≤π，若y=f（x+φ）是偶函数，求φ的值．

Answer 1

分析：（1）将函数解析式第二项利用诱导公式化简后，提取2，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质确定出f（x）的值域，即可求出f（x）的最大值，以及此时对应x的值；
（2）法1：由（1）化简后的函数解析式及y=f（x+φ）是偶函数，利用偶函数的性质列出关系式，移项并利用和差化积公式变形后得到sinxsin（φ+

π

3

）=0，可得出φ+

π

3

=kπ，k∈Z，由φ的范围即可求出φ的度数；
法2：由y=f（x+φ）是偶函数，利用偶函数的性质得到f（x+φ）=f（-x+φ），可得出x=φ是y=f（x）的对称轴，再由（1）化简得到的函数解析式表示出函数的对称轴，两者相等可得出φ=kπ-

π

3

，k∈Z，由φ的范围即可求出φ的度数．

解答：解：（1）f（x）=cosx+

3

cos（x+

π

2

）=cosx-

3

sinx=2（

1

2

cosx-

3

2

sinx）
=2cos（x+

π

3

），
∵-1≤cos（x+

π

3

）≤1，
∴-2≤2cos（x+

π

3

）≤2，即-2≤f（x）≤2，
则f（x）的最大值为2，此时x+

π

3

=2kπ（k∈Z），即x=2kπ-

π

3

（k∈Z）；
（2）法1：由（1）及f（x+φ）=f（-x+φ），
得cos（-x+

π

3

+φ）=cos（x+

π

3

+φ），即sinxsin（φ+

π

3

）=0对任意实数x恒成立，
可得φ+

π

3

=kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，
则φ=

2π

3

；
法2：由题设知f（x+φ）=f（-x+φ），
∴x=φ是y=f（x）的对称轴，
由y=2cos（x+

π

3

）的对称轴为x=kπ-

π

3

，k∈Z，即φ=kπ-

π

3

，k∈Z，
又0≤φ≤π，
令k=1，得φ=

2π

3

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，余弦函数的定义域与值域，余弦函数的对称性，以及偶函数的性质，熟练掌握公式是解本题的关键．