Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II） 已知b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*），求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接利用，构造新等式求出求数列{a_n}的递推公式，找到数列{a_n}的项的规律进而求出数列{a_n}的通项公式；
（II） 先构造函数f（x）=ln（1+x）-x，利用函数的单调性来对ln（1+）的通项进行放缩，再利用裂项求和法求和即可证：（1+）（1+）（1+）…（1+）．．
解答：解：（I）当n≥3时，由，
S_n-1=（n-1）a_n-1+2-，
可得，
故a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N⁺）．
所以a_n=
（II）设f（x）=ln（1+x）-x，则f'（x）=-1=＜0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x
∵n≥2时，＜=，ln（1+）＜＜=-，
∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜-++…+=-＜．
∴（1+）（1+）（1+）…（1+）．
点评：本题考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．