题目内容

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求证：数列 $数学公式$ 为等差数列，并求通项b_n；
（Ⅱ）试判断数列{T_n}的单调性，并证明．
（Ⅲ）求证：当n≥2时， $数学公式$ ．

（Ⅰ）证明：由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
整理，得b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，
从而有 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为1的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ =n，∴b_n= $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）解：数列{T_n}单调递增
∵S_n=1+ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，
∴T_n=S_2n-S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，
∴T_n+1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴T_n+1-T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，
∴T_n+1＞T_n，
∴数列{T_n}单调递增；
（Ⅲ）证明：①当n=2时， $\text{[math]}$ ，结论成立；
②设n=k时，结论成立，即1+ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，
则n=k+1时， $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即n=k+1时，结论成立
∴当n≥2时， $\text{[math]}$ ．
分析：（I）将两个已知等式结合得到关于数列{b_n}的项的递推关系，构造新数列，利用等差数列的通项公式求出 $\text{[math]}$ ，进一步求出b_n．
（II）表示出T_n，T_n+1，求出T_n+1-T_n，通过放缩法，判断出此差的符号，判断出T_n+1，T_n两者的大小，即可得到结论；
（Ⅲ）利用数学归纳法证明即可．
点评：本题考查了数列和不等式的综合应用，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查不等式的证明，综合性强．