Question

已知双曲线与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点重合，它们的离心率之和为

14

5

，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：设出双曲线方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，即可确定双曲线的几何性质，从而可得双曲线的方程．

解答：解：设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）（3分）
椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的半焦距c=

25-9

=4，离心率为

4

5

，（6分）
两个焦点为（4，0）和（-4，0）（9分）
∴双曲线的两个焦点为（4，0）和（-4，0），离心率e=

14

5

-

4

5

=2
∴

c

a

=

4

a

=2，∴a=2（12分）
∴b²=c²-a²=12（14分）
∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1（15分）

点评：本题双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．