Question

（2011•西安模拟）设过点P(1，  

3

2

)的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0）．M为椭圆上的一个动点，以M为圆心，MF₂为半径作⊙M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若⊙M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（Ⅲ）是否存在定⊙N，使⊙M与⊙N总内切？若存在，求⊙N的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2a=|PF₁|+|PF₂|=4，知a=2．由两焦点为两焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0），能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），则⊙M半径r=

(x0-1)2+y02

，圆心M到y轴的距离d=|x₀|，⊙M与y轴有两个交点，能求出点M横坐标的取值范围．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）²+y²=16与⊙M总内切，圆心N为椭圆的左焦点F₁，由椭圆的定义知，|MF₁|+|MF₂|=4，由此能导出两圆相内切．

解答：解：（Ⅰ）∵2a=|PF₁|+|PF₂|=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，
∴a=2．
∵两焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），则⊙M半径r=

(x0-1)2+y02

，
圆心M到y轴的距离d=|x₀|，
由

(x0-1)2+y02 ＞|x0| x02 4 + y02 3 =1

，
得3x02+8x0-16＜0，
∴-4＜x0＜

4

3

，
∵-2≤x₀≤2，
∴-2≤x0＜

4

3

．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）²+y²=16与⊙M总内切，
圆心N为椭圆的左焦点F₁，
由椭圆的定义知，|MF₁|+|MF₂|=4，
∴|MF₁|=4-|MF₂|，
∴两圆相内切．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．