Question

数列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个峰值．若a_n=tlnn-n，且{a_n}不存在峰值，则实数t的取值范围是

{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n∈N*且n≥2}

．

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答：解：令f（x）=tlnx-x（x≥1），则f′(x)=

t

x

-x=

-(x-t)

t

，
①当x≥t且x≥1时，f^′（x）≤0，∴函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，
对于数列a_n=tlnn-n，{a_n}不存在峰值，t应满足

t≤1 a2≤a1

即

t≤1 tln2-2≤tln1-1

，解得t≤

1

ln2

；
②不存在t满足函数f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数；
③当a_n=a_n+1时，数列{a_n}是一个常数列，此时t满足tlnn-n=tln（n+1）-（n+1），解得t=

1

ln( n+1 n )

，n∈N^*且n≥2．
故实数t的取值范围是{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n∈N*且n≥2}．
故答案为{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n∈N*且n≥2}．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性和正确理解题意是解题的关键．