题目内容
（2012•江西模拟）已知函数f(x)=2
sin
cos
-2sin2
．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．
分析：由题意先对f(x)=2
sin
cos
-2sin2
进行化简变形得到f(x)=2sin(
x+
)-1
（I）x∈[0，π]，代入求得相位的取值范围，再由正弦函数的性质求得值域；
（II）由f（C）=1，及b2=ac，进行化简整理得出关于sinA的方程，再求出sinA的值．
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
（I）x∈[0，π]，代入求得相位的取值范围，再由正弦函数的性质求得值域；
（II）由f（C）=1，及b2=ac，进行化简整理得出关于sinA的方程，再求出sinA的值．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=2
sin
cos
-2sin2
=
sin
+cos
-1=2sin(
+
)-1．…（3分）
∵x∈[0，π]，
∴
≤
+
≤
．
∴
≤sin(
+
)≤1．
∴f（x）的值域为[0，1]．…（4分）
（Ⅱ）∵f(C)=2sin(
+
)-1=1．
∴sin(
+
)=1．
而C∈（0，π），
∴C=
．…（2分）
在Rt△ABC中，∵b2=ac，c2=a2+b2，
∴c2=a2+ac⇒(
)2+
-1=0．
解得
=
．
∴0＜sinA＜1，
∴sinA=
=
．…（3分）
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
=
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵x∈[0，π]，
∴
| π |
| 6 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的值域为[0，1]．…（4分）
（Ⅱ）∵f(C)=2sin(
| 2C |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴sin(
| 2C |
| 3 |
| π |
| 6 |
而C∈（0，π），
∴C=
| π |
| 2 |
在Rt△ABC中，∵b2=ac，c2=a2+b2，
∴c2=a2+ac⇒(
| a |
| c |
| a |
| c |
解得
| a |
| c |
-1±
| ||
| 2 |
∴0＜sinA＜1，
∴sinA=
| a |
| c |
| ||
| 2 |
点评：本题考查三角恒等变化与化简求值，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，对解析式进行化简，再由正弦函数的性质求值，本题考查了函数与方程的思想及运算变形的能力，是三角函数中有一定综合性的题．
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