题目内容
21.已知椭圆C：
=1(a＞b＞0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
，求△AOB面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c,依题意∴b=1, ∴所求椭圆方程为
（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)当AB⊥x轴时，|AB|=.
(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知,得m2=
(k2+1).把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0, ∴x1+x2=
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)
当且仅当9k2=
,即k=±
时等号成立.当k=0时，|AB|=
,综上所述|AB|max=2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=
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=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径
，0)求实数k的取值范围。
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=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(
，0)求实数k的取值范围。
+
=1(a＞b＞0)的离心率为
，且经过点P(1，
).
=1(a＞b＞0)的离心率为
，短轴一
的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.