Question

已知抛物线C的方程为x²=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，且点N到直线MA，MB的距离的和为8，试判断△MAB的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AM的斜率为k，由∠BMN=∠AMN，知直线BM的斜率为-k，所以直线AM的方程为，由此能够证明直线AB的斜率为定值．
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，由，，知k_AM+k_BM=0，∠BMN=∠AMN，由点N到直线MA，MB的距离的和为8，知点N到直线MA，MB的距离均为4，由此能得到△MAB是直角三角形．
解答：解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AM的斜率为k，
∵∠BMN=∠AMN，所以直线BM的斜率为-k，
可求得，则直线AM的方程为，
代入x²=4y得，
∵，
同理，．（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，由（1）可得：，，
∴，
∴k_AM+k_BM=0，
∴∠BMN=∠AMN，（8分）
又点N到直线MA，MB的距离的和为8，
所以点N到直线MA，MB的距离均为4，
∵，
∴∠BMN=∠AMN=45°，
所以△MAB是直角三角形．   （10分）
点评：本题考查直线和抛物线的综合运用，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用，合理地进行等价转化．