题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，（x≠0）（a≠0）．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）已知当a＞0时，函数在（0， $数学公式$ ）上单调递减，在 $数学公式$ 上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）若函数f（x）在区间 $数学公式$ 内有反函数，试求出实数a的取值范围．

解：（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（- $\text{[math]}$ ，0）及（0， $\text{[math]}$ ），
②当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞），
③当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，- $\text{[math]}$ ）及（ $\text{[math]}$ ，+∞）．
（2）由题设及（1）中③知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 且a＞1，解得a=3，
因此函数解析式为f（x）= $\text{[math]}$ （x≠0）．
（3）1#当a（a-1）＞0即a＜0或a＞1时
由图象知 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ 解得a∈（-∞， $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）
2#当a=1时，函数为正比例函数，故在区间内存在反函数，所以a=1成立．
3#当a（a-1）＜0，得到 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，从而得a∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
综上a∈∈（-∞， $\text{[math]}$ ]∪（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）∪{1}∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）
分析：（1）讨论a，分为a＜0，0＜a≤1，a＞1，从而得到函数的单调区间；
（2）根据（1）中a＞1时的单调区间可知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 且a＞1，解得a的值；
（3）欲使函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 内有反函数即在该区间上单调，讨论a（a-1）的正负可求出所求．
点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数的反函数，同时考查了不等式的解法和计算能力，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．