Question

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：
①对任意的x∈R，有f（x）＞0；
②对任意的x，y∈R，都有f（xy）=[f（x）]^y；
③f(

1

3

)＞1．
（Ⅰ）求f（0）的值；  
（Ⅱ）求证：f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数； 
（Ⅲ）解关于x的不等式：[f（x-2a）]^（x+1）＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以令y=0，代入f（xy）=[f（x）]^y，即可求得f（0）的值；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可令x₁=

1

3

P₁，x₂=

1

3

P₂，故p₁＜p₂，再判断f（x₁）-f（x₂）的符号，从而可证其单调性；，
（Ⅲ）根据f（x）是增函数，利用f（0）=1，代入不等式，再利用单调性进行求解；

解答：解：（1）：（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²⇒f（0）=1；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则令x₁=

1

3

P₁，x₂=

1

3

P₂，故p₁＜p₂，
∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f(

1

3

)＞1
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

1

3

P₁）-f（

1

3

P₂）=[f（

1

3

）]^P₁-[f（

1

3

）]^P₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的单调增函数．
（3）∵解关于x的不等式：[f（x-2a）]^（x+1）＞1=f（0），f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数，
∴f[（x-2a）^x+1]＞0，
∴f[（x-2a）（x+1）]=f（x-2a）^x+1＞0，∵对任意的x∈R，有f（x）＞0；
∴（x-2a）（x+1）＞0，比较2a与-1的大小
当a=-

1

2

时，f（x）的解集为（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
当a＞-

1

2

时，即2a＞-1，f（x）的解集为（-∞，-1）∪（2a，+∞）；
当a＜-

1

2

时，即2a＜-1，f（x）的解集为（-∞，2a）∪（-1，+∞）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于用单调函数的定义证明其单调递增时“任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁=

1

3

P₁，x₂=

1

3

P₂，”这一步比较灵活需要学生的理解与应用，属于中档题．