Question

【题目】选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；

（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）为圆心在原点，半径为2的圆， （2）取到最小值为最大值为

【解析】试题分析：（1）利用三角恒等式消元法消去参数可得曲线的普通方程，再利用放缩公式可得曲线方程，从而可判定是哪一种曲线，利用极坐标护互化公式可得的方程化为极坐标方程；（2）利用的参数方程设出点的坐标，利用点到直线距离公式、辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.

试题解析：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

因为，则曲线的参数方程．

所以的普通方程为．

所以为圆心在原点，半径为2的圆．

所以的极坐标方程为，即．

（2）解法：直线的普通方程为．

曲线上的点到直线的距离．

当即时， 取到最小值为．

当即时， 取到最大值为．