题目内容
已知函数f（x），若对给定的△ABC，它的三边的长a，b，c均在函数f（x）的定义域内，都有f（a），f（b），f（c）也为某三角形的三边的长，则称f（x）是△ABC的“三角形函数”，下面给出四个命题：
①函数f1（x）=x是任意三角形的“三角形函数”．
②函数f2（x）=
（x∈（0，+∞））是任意兰角形“三角形函数”；
③若定义在 （0，+∞）上的周期函数 f3（x）的值域也是勤f3（x），则f3（x）是任意三角形的“三角形函数”；
④若函数f4（x）=x3-3x+m在区间或（
，
）上是某三角形的“三角形函数”，则m的取值范是（
，+∞）．
以上命题正确的有 （写出所有正确命题的序号）
①函数f1（x）=x是任意三角形的“三角形函数”．
②函数f2（x）=
| x |
③若定义在 （0，+∞）上的周期函数 f3（x）的值域也是勤f3（x），则f3（x）是任意三角形的“三角形函数”；
④若函数f4（x）=x3-3x+m在区间或（
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 62 |
| 27 |
以上命题正确的有
考点：进行简单的合情推理
专题：推理和证明
分析：判断函数f（x）是不是“三角形函数”，只须对任意的三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．
①显然符合条件，
②f2（x）=
中，设△的三边长分别为a，b，c，且a+b＞c，有f（a）+f（b）=
+
＞
＞
=f（c）；
③f3（x）中，举反例说明命题不成立；
④f4（x）中，利用导函数判断函数在x∈（
，
）上的增减性并比较大小，从而确定m的取值范围；
①显然符合条件，
②f2（x）=
| x |
| a |
| b |
| a+b |
| c |
③f3（x）中，举反例说明命题不成立；
④f4（x）中，利用导函数判断函数在x∈（
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：
解：①对于f1（x）=x，显然符合条件；
②对于f2（x）=
，x∈（0，+∞），设△的三边长分别为a，b，c，且a+b＞c，
不妨设a≤c，b≤c，则f（a）+f（b）=
+
＞
＞
=f（c），符合条件；
③对于定义在（O，+∞）上的周期函数f3（x），值域是（0，+∞），设T（T＞0）是f3（x）的一个周期，则存在n＞m＞0，有f3（m）=1，f3（n）=2，
取正整数λ＞
，则λT+m，λT+m，n，是三角形的三边，又f2（λT+m）=1，f2（λT+m）=1，f2（n）=2不能组成三角形，∴不符合条件；
④对于函数f4（x）=x3-3x+m，∵f4′（x）=3x2-3，∴f4（x）在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，又x∈（
，
），
∴f4（1）＜f4（
）＜f4（
）；要使f4（x）是某三角形的“三角形函数”，须f4（
）=（
）3-3×
+m＞0，∴m＞
，∴不符合条件；
故答案为：①②
②对于f2（x）=
| x |
不妨设a≤c，b≤c，则f（a）+f（b）=
| a |
| b |
| a+b |
| c |
③对于定义在（O，+∞）上的周期函数f3（x），值域是（0，+∞），设T（T＞0）是f3（x）的一个周期，则存在n＞m＞0，有f3（m）=1，f3（n）=2，
取正整数λ＞
| n-m |
| T |
④对于函数f4（x）=x3-3x+m，∵f4′（x）=3x2-3，∴f4（x）在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，又x∈（
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴f4（1）＜f4（
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 44 |
| 27 |
故答案为：①②
点评：本题通过命题真假的判定，考查了新定义下的函数模型的应用问题，是比较容易出错的题目．
练习册系列答案
相关题目
如图，正六边形ABCDEF中，
+
+
=（ ）
| BA |
| CD |
| EF |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|