Question

我们把由半椭圆（x≥0）与半椭圆（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a²=
b²+c²，a＞0，b＞c＞0。
如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A₁A₂的中点，
（1）若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；
（2）设P是“果圆”的半椭圆（x≤0）上任意一点，求证：当|PM|取得最小值时，P在点
B₁，B₂或A₁处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标。

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圆”方程为。
（2）设P（x，y），则
，
，
∴的最小值只能在x=0或x=-c处取到，
即当|PM|取得最小值时，P在点B₁，B₂或A₁处；
（3），且B₁和B₂同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，
所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆上的情形即可，
，
当，即a≤2c时，的最小值在时取到，
此时P的横坐标是；
当，即a＞2c时，由于在x＜a时是递减的，的最小值在x=a时取到，
此时P的横坐标是a；
综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是；
若a＞2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或-c。