Question

已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.

Answer 1

证明略

解析:

证明  方法一  假设三式同时大于，

即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,

∵a、b、c∈(0,1),

∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞.

又(1-a)a≤=,

同理（1-b）b≤,(1-c)c≤,

∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,

这与假设矛盾，故原命题正确.

方法二  假设三式同时大于，

∵0＜a＜1,∴1-a＞0,

≥＞=,

同理＞,＞,

三式相加得＞,这是矛盾的，故假设错误，

∴原命题正确.