Question

已知函数f（x）=x-（a+1）lnx-

a

x

（a＞0）．
（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）的极大值；
（Ⅲ）求证：对于任意a＞1，函数f（x）＜0在（0，a）上恒成立．

Answer 1

分析：（I）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间．
（II）通过对字母a的分类讨论，探讨导数的符号得函数的单调性，即可的函数的极大值．
（III）当a＞1时，由（2）可知f（x）在（0，a）上的最大值为f（1）=1-a．要证函数f（x）＜0在（0，a）上恒成立，只要证f（x）在（0，a）上的最大值f（1）＜0即可．即证1-a＜0恒成立．

解答：解：定义域为（0，+∞），且f′(x)=1-

a+1

x

+

a

x2

（Ⅰ）当a=5时，f′(x)=1-

6

x

+

5

x2

=

x2-6x+5

x2

=

(x-1)(x-5)

x2

，令f'（x）≥0，
解得x≥5或x≤1．故函数f（x）在（0，1），（5，+∞）上单调递增．  …（2分）
（Ⅱ）令f'（x）≥0，即1-

a+1

x

+

a

x2

=

x2-(a+1)x+a

x2

=

(x-a)(x-1)

x2

≥0，
当a=1时，上式化为

(x-1)2

x2

≥0恒成立．故f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
当a＞1时，解得x≤1或x≥a．故f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减．

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

故f（x）在x=1处有极大值f（1）=1-a．
当0＜a＜1时，解得x≤a或x≥1．故f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

故f（x）在x=a处有极大值f（a）=a-1-（a+1）lna．…（7分）
（Ⅲ）证明：当a＞1时，由（2）可知f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减．
故f（x）在（0，a）上的最大值为f（1）=1-a．
要证函数f（x）＜0在（0，a）上恒成立
只要证f（x）在（0，a）上的最大值f（1）＜0即可．
即证1-a＜0恒成立．
因为a＞1，故1-a＜0．
由此可知，对任意a＞1，f（x）＜0在（0，a）上恒成立．…（9分）

点评：求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．还考查了利用导数研究函数的极值，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．