Question

已知f（x）=sin（x+φ）cosx（φ为常数）的图象关于原点对称，且f(

π

4

)=

1

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x）的图象关于原点对称得到f（x）=-f（-x），再由两角和与差的正弦公式展开化简，再根据正弦函数的性质确定φ的范围，最后根据f(

π

4

)=

1

2

确定φ的值，进而可得到f（x）的解析式．
（2）令-

π

2

+2mπ≤2x≤

π

2

+2mπ(m∈Z)，求出x的范围即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称，∴f（x）=-f（-x）恒成立，
即sin（x+φ）cosx=-sin（-x+φ）cos（-x）恒成立．
∴cosx[sin（x+φ）-sin（x-φ）]=0恒成立，
∴2cos²xsinφ=0恒成立．
∴sinφ=0，∴φ=kπ（k∈Z），
∴f（x）=sin（x+kπ）cosx（k∈Z）．
又f(

π

4

)=sin(

π

4

+kπ)cos

π

4

=

2

2

sin(

π

4

+kπ)=

1

2

，
∴sin(

π

4

+kπ)=

2

2

，∴

π

4

+kπ=

π

4

+2nπ或

π

4

+kπ=

3

4

π+2nπ（n∈Z）．
∴k=2n或k=

1

2

+2n（舍去，∵k∈Z），∴k=2n（n∈Z）．
∴f(x)=sinxcosx=

1

2

sin2x．
（2）令-

π

2

+2mπ≤2x≤

π

2

+2mπ(m∈Z)，得-

π

4

+mπ≤x≤

π

4

+mπ(m∈Z)
∴f（x）的单调增区间[-

π

4

+mπ，

π

4

+mπ](m∈Z)．

点评：处理三角函数性质的综合题，要求掌握好三角的恒等变形及三角式的求值等方面的知识．考查综合能力，转化与化归思想，以及分析问题和解决问题的能力．