Question

 如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC₁上．设二面角A₁-DN-M的大小为θ，
（1）当θ=90°时，求AM的长；
（2）当cosθ=

6

6

时，求CM的长．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D-xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过

DN

•

n1

=0，

DM

•

n1

=0求出平面DMN的法向量为

n1

，

DA1

•

n2

=0，

DN

•

n2

=0求出平面A₁DN的法向量为

n2

，推出

n1

•

n2

=-5t+1（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．
（2）利用cos＜

n1

，n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

以及cosθ=

6

6

，求出CM 的长．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，D-xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A（1，0，0），A₁（1，0，2），
N（

1

2

，1，0），M（0，1，t）；
所以

DN

=（

1

2

，1，0）.

DA1

=（1，0，2），

DM

=（0，1，t）
设平面DMN的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

DN

 •

n1

=0，

DM

•

n1

=0，
即x₁+2y₁=0，y₁+tz₁=0，令z₁=1，则y₁=-t，x₁=2t所以

n1

=（2t，-t，1），
设平面A₁DN的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），则

DA1

•

n2

=0，

DN

•

n2

=0，
即x₂+2z₂=0，x₂+2y₂=0，令z₂=1则y₂=1，x₂=-2所以

n2

=（-2，1，1），

n1

•

n2

=-5t+1
（1）因为θ=90°，所以

n1

•

n2

=-5t+1=0解得t=

1

5

从而M（0，1，

1

5

），
所以AM=

12+12+( 1 5 )2

=

51

5

（2）因为|

n1

| =

5t2+1

，|

n2

| =

6

所以，
cos＜

n1

，n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

-5t+1

6? × 5t2+1?

因为＜

n1

，n2

＞=θ或π-θ，所以

-5t+1

6? × 5t2+1?

=

6

6

解得t=0或t=

1

2

根据图形和（1）的结论，可知t=

1

2

，从而CM的长为

1

2

．

点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．