Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足a_n=

2 S 2n

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求证：数列{

1

Sn

}的通项公式；
（2）设存在正数k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）≥k

2n+1

对一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）证明：∵n≥2时，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=

2S 2n

2Sn-1

，∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴=S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），（5分）
数列{

1

Sn

}是以

1

S1

=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）
（2）由（1）知

1

Sn

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，∴Sn+1=

1

2n+1

（7分）
设F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，
则

F(n+1)

F(n)

=

(1+Sn+1) 2n+1

2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1（10分）
∴F（n）在n∈N^*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=

2

3

3

，∴0＜k≤

2

3

3

，k_max=

2

3

3

．（12分）