题目内容

已知函数f（x）=x+
a
x
（a≠0），过P（1，0）作f（x）图象的切线l．
（1）当a=-2时，求出所有切线l的方程．
（2）探求在a≠0的情况下，切线l的条数．
（3）如果切线l有两条，切点分别为M1（x1，x2），M2（x2，y2），求g（a）=|M1M2|的解析式．
（1）．当a=-2时，f（x）=x+
2
x
，所以P不在f（x）的图象上，设切点为M0（x0，y0）
∵f′（x）=1+
2
x2
，∴f′（x0）=1+
2
x 02
=k PM 0=
y0-0
x0-1
，
又y0=x0+
2
x0
，代入整理得：x02-4x0+2=0，即x0=2±
2
，
∴f′（x0）=1+
2
x 02
=1+
1
3±2
2

∴切线l的方程：y=（1+
1
3±2
2
）（x-1）
（2）．f′（x）=1-
a
x2

只有当a=-1时，点P在f（x）的图象上，
∴只有当a=-1时，P可以是切点且l的方程：y=2x-2．
当P是不是切点时，设切点为M0（x0，y0），x0≠0，
∵f′（x）=1-
a
x2
，∴f′（x0）=1-
a
x2
=k PM 0=
y0-0
x0-1
，
又y0=x0+
a
x0
，代入整理得：x02+2ax0-a=0，，┉①
△=4a2+4a，经检验，x0=1不满足方程．
当a＞0或a＜-1时，△＞0，切点有两个；
当-1＜a＜0时，△＜0，没有切点；
综上所述：
当-1＜a＜0时，没有切线l存在；
当a=-1时，只有一条切线l；
当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在
（3）由（2）问可知，当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在．
由①式可知：x1，x2满足方程x2+2ax-a=0，
即x1+x2=-2a，x1x2=-a
∵y1=x1+
a
x1
，y2=x2+
a
x2

∴g（a）=\M1M2\=
(x1-x2) 2+(y1-y2) 2
=
(x1-x2)2[1+(1-
a
x1x2
)2]?

=
5(x1-x2)2?
=
5[(x1+x2)2-4x1x2]?
=2
5(a2+a)

∴g（a）=2
5(a2+a)
，a＞0或a＜-1
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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