Question

已知函数f(x)＝|x²＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．

Answer 1

(0,1)∪(9，＋∞)

解析　设y₁＝f(x)＝|x²＋3x|，y₂＝a|x－1|，

在同一直角坐标系中作出y₁＝|x²＋3x|，y₂＝a|x－1|的图象如图所示．

由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y₁＝|x²＋3x|与y₂＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，

当4个交点横坐标都小于1时，

有两组不同解x₁，x₂，

消y得x²＋(3－a)x＋a＝0，

故Δ＝a²－10a＋9>0，

且x₁＋x₂＝a－3<2，x₁x₂＝a<1，

联立可得0<a<1.

当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，

有两组不同解x₃，x₄.

消去y得x²＋(3－a)x＋a＝0，

故Δ＝a²－10a＋9>0，

且x₃＋x₄＝a－3>2，x₃x₄＝a>1，

联立可得a>9，