题目内容

函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是(　　)

A．12，－15  B．5，－15   C．5，－4    D．－4，－15

B解y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．列表如下：

x

0

(0,2)

2

(2,3)

3

f′(x)

 

－

0

＋

f(x)

5

极小值－15

－4

由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.

练习册系列答案
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下列给出的函数中，是幂函数的是

[　　]

A．y＝3x

B．y＝2x3

C．y＝x－3

D．y＝x3－1

求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)．

(1)y＝(5x－3)4

(2)y＝(2＋3x)5

(3)y＝(2－x2)3

(4)y＝(2x3＋x)2

求下列多项式函数的导函数．

(1)y＝2x3－3x2＋5x－4；

(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)．

求下列多项式函数的导函数．

(1)y＝2x3－3x2＋5x－4；

(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)．

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)设切点为(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

 

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