Question

△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则b边所对的角为（　　）

A．锐角

B．钝角

C．直角

D．不能确定

Answer 1

分析：方法一：使用余弦定理，由已知求出 b=

2ac

a+c

，计算cosB=

a2+c2-b2

2ac

的符号，进而可求B的范围
方法二：反证法，假设 B≥

π

2

，则 b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0，结合已知进行推导可求
方法三：反证法由题意可得

2

b

=

1

a

+

1

c

，故b边不是最大边，也不是最小边．假设B≥

π

2

，则最大边所对的角大于

π

2

，这与三角形内角和相矛盾，从而可得

解答：解：方法一：由题意可得

1

a

+

1

c

=

2

b

．
∴b=

2ac

a+c

，
∵a2+c2-b2=a2+c2-(

2ac

a+c

)2≥2ac-

4a2c2

(a+c)2

=2ac(1-

2ac

(a+c)2

)≥2ac(1-

2ac

4ac

)＞0．
即cosB=

a2+c2-b2

2ac

＞0
故 B＜

π

2

法2：反证法：假设 B≥

π

2

则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．
（法三）∵△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，
∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，故b边不是最大边，也不是最小边．
若B≥

π

2

，则最大边所对的角大于

π

2

，这与三角形内角和相矛盾，故 B＜

π

2

．

点评：本题主要考查了利用余弦定理解三角形，其中方法一 使用余弦定理直接求解，方法二、三，使用反证法，方法二，三比较简单．