Question

设函数f（x）=2cos²x+2

3

sinx•cosx+m（m，x∈R）
（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为[

1

2

，

7

2

]．

Answer 1

分析：（1）首先对f（x）进行化简，然后即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据x的取值范围，求出2x+

π

6

的范围，然后求出m的值；

解答：解：（1）f（x）=2cos^x+2

3

sinxcosx+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∴函数f（x）的最小正周期T=π．
（2）∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
m≤f（x）≤m+3．
又

1

2

≤f（x）≤

7

2

，故m=

1

2

．

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域值域问题，属于基础题．