Question

（2013•甘肃三模）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，直线l的参数方程为

x=-1+ 3 5 t y=-1+ 4 5 t

t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=

2

sin(θ+

π

4

)．
（I）求曲线C的直角坐标方程；
（II）求直线l被曲线C所截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）曲线的极坐标方程即ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ²=ρcosθ+ρsinθ，再根据直角坐标与极坐标的互化公式求得C的直角坐标方程．
（2）将直线参数方程代入圆C的方程，利用根与系数的关系和弦长公式求得直线l被曲线C所截得的弦长．

解答：解：（1）由ρ=

2

sin(θ+

π

4

)得：ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
∴x²+y²-x-y=0，即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．
（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t²-21t+20=0，
∴t1+t2=

21

5

，t1t2=4．
∴|MN|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

41

5

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程，弦长公式的应用，属于基础题．