Question

（2013•甘肃三模）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=

2

，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO丄侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明BC⊥AB₁，可证明AB₁垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB₁A₁，所以CO垂直于AB₁，只要在矩形ABB₁A₁内证明BD垂直于AB₁即可，可利用角的关系加以证明；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-ABC的体积，可转化为求三棱锥C-ABB₁ 的体积，在Rt△ABD中，可求得BD的值和OA的值，从而三棱锥的体积可求．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
因为ABB₁A₁是矩形，
D为AA₁中点，AB=1，AA1=

2

，AD=

2

2

，
所以在直角三角形ABB₁中，tan∠AB1B=

AB

BB1

=

2

2

，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=

AD

AB1

=

2

2

，
所以∠AB₁B=∠ABD，
又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB₁，
又因为CO⊥侧面ABB₁A₁，AB₁?侧面ABB₁A₁，
所以CO⊥AB₁
所以，AB₁⊥面BCD，BC?面BCD，
故BC⊥AB₁．
（Ⅱ）解：在Rt△ABD中，可求得BD=

6

2

，OC=OA=

AD×AB

BD

=

2 2 ×1

6 2

=

3

3

．
S△ABB1=

1

2

AB•BB1=

2

2

．
VB1-ABC=VC-ABB1=

1

3

S△ABB1•OC=

1

3

•

2

2

•

3

3

=

6

18

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用等积法求棱锥的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．