如图.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的左右焦点分别为F1.F2.离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.它的四个顶点连成的菱形的面积为8$\sqrt{2}$．过动点P的直线PF1.PF2与椭圆的交点分别为A.B和C.D．(1)求此椭圆的标准方程,(2)是否存在点P.使|AB|=2|CD|.若存在求出点P的坐标,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，它的四个顶点连成的菱形的面积为8$\sqrt{2}$．过动点P（不在x轴上）的直线PF₁，PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）是否存在点P，使|AB|=2|CD|，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}$=1（除顶点外）上运动，证明：|AB|+|CD|为定值，并求出此定值．

分析（1）直接计算即得结论；
（2）分直线PF₂的斜率存在与不存在两种情况讨论即可；
（3）设点P（x，y），利用斜率、两点间距离公式计算即得结论．

解答解：（1）∵S=2ab=8$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a＞b＞0，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
∴所求的椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）结论：不存在这样的点P，使得|AB|=2|CD|成立．
理由如下：
若|AB|=2|CD|成立，点P必在y轴的右侧，
故直线PF₁必存在设为k₁，
当直线PF₂的斜率存在时设为k₂，
此时有直线PF₁为：y=k₁（x+2），直线PF₂为：y=k₂（x-2），
由y=k₁（x+2）代入$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，消去y整理得，（1+2${{k}_{1}}^{2}$）x²+8${{k}_{1}}^{2}$x+8（${{k}_{1}}^{2}$-1）=0，
由韦达定理，得x₁+x₂=-$\frac{8{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8（{{k}_{1}}^{2}-1）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-8{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}）^{2}-4•\frac{8（{{k}_{1}}^{2}-1）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}}$
=4$\sqrt{2}$•$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
同理，可得|CD|=4$\sqrt{2}$•$\frac{1+{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，
若|AB|=2|CD|成立，则有$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=2•$\frac{1+{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，
整理得：2${{k}_{1}}^{2}$${{k}_{2}}^{2}$+3${{k}_{1}}^{2}$+1=0，
因为此方程无实数解，所以不存在这样的点P，使得|AB|=2|CD|成立．
当直线PF₂的斜率不存在时，|CD|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，
此时|AB|=2|CD|=4$\sqrt{2}$=2a不成立．
综上可得，不存在这样的点P，使得|AB|=2|CD|成立；
（3）设点P（x，y），则k₁=$\frac{y}{x+2}$，k₂=$\frac{y}{x-2}$，k₁k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$，
若点在双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}$=1（除顶点外）上运动，
则有x²-4=2y²，∴k₁k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$=$\frac{1}{2}$，
由（2）可知，|AB|+|CD|=4$\sqrt{2}$•（$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1+{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$）
=4$\sqrt{2}$•$\frac{2+3{{k}_{1}}^{2}+3{{k}_{2}}^{2}+4{{k}_{1}}^{2}{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}+2{{k}_{2}}^{2}+4{{k}_{1}}^{2}{{k}_{2}}^{2}}$
=4$\sqrt{2}$•（1+$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}+2{{k}_{2}}^{2}+4•（\frac{1}{2}）^{2}}$）
=4$\sqrt{2}$•（1+$\frac{1}{2}$）=6$\sqrt{2}$．