Question

已知F₁、F₂分别为双曲线

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得

|PF2|2

|PF1|

=8a，则双曲线的离心率的取值范围是

（1，3]

．

Answer 1

分析：依题意，双曲线左支上存在一点P使得

|PF2|2

|PF1|

=8a，|PF₁|-|PF₂|=-2a，可求得，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a，再利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．

解答：解：∵P为双曲线左支上一点，
∴|PF₁|-|PF₂|=-2a，
∴|PF₂|=|PF₁|+2a，①
又

|PF2|2

|PF1|

=8a，②
∴由①②可得，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a．
∴|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，即2a+4a≥2c，
∴

c

a

≤3，③
又|PF₁|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2a+2c＞4a，
∴

c

a

＞1．④
由③④可得1＜

c

a

≤3．
故答案为：（1，3]．

点评：本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a是基础，利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．