Question

已知动点P与双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为6．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）

PF1

•

PF2

=3，求△PF₁F₂的面积；
（3）若已知D（0，3），M、N在曲线C上，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）由双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点：F₁、F₂．
可知F₁（-√5，0），F₂（√5，0）
∵动点P到两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值6且6＞2

5

∴动点P的运动轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆
∴c=

5

，a=3，b²=a²-c²=4．
∴动点P的轨迹C的方程：

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）设P（x，y），则

PF1

=（-

5

-x，-y）；

PF2

=（

5

-x，-y）；
∴

PF 1

•

PF 2

=x²-5+y²=3．
∵点P的轨迹C的方程：

x2

9

+

y2

4

=1．
∴

x2-5+y2=3 x2 9 + y2 4 =1

?y²=

4

5

?|y|=

2 5

5

．
∴S_△=

1

2

|F₁F₂|•|y|=

1

2

×2

5

×

2 5

5

=2．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直线MN的方程为y=kx+3代入 

x2

9

+

y2

4

=1消去x整理得
：（4+9k²）x²+54kx+45=0
∵△=54×54k²-4×45（4+9k²）≥0
∴k²≥

5

9

…①
∴x₁+x₂=

-54k

4+9k2

…②，
x₁•x₂=

45

4+9k2

…③
∵

DM

=λ

DN

，
∴x₁=λx₂…④
由②③④并消去x₁与x₂…并整理得：

(1+λ)2

λ

=

324k2

20+45k2

再由①可得4≤

(1+t)2

t

＜

36

5

解得

1

5

≤t≤5
当k不存在时此时MN为短轴容易得t=

1

5

或5
综上可知λ取值范围为[

1

5

，5]