Question

（22）

P、Q、M、N四点都在椭圆x²+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。己知与共线，与共线，且·=0。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

Answer 1

（22）本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。

解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），

故PQ方程为y=kx+1

将此式代入椭圆方程得

(2+k²)x²+2kx-1=0

设P、Q两点的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂)，则

x₁=，x₂=

从而  |PQ|²=（x₁-x₂）²+(y₁-y₂)²

          =

亦即   |PQ|=

（i）当k≠0时，MN的斜率为-，同上可推得

|MN|=

故四边形面积

S=|PQ|·|MN|

=

=                                 

令u=k²+，得

S==2(1-)

因为  u= k²+≥2,

当k=±1时，u=2，S=,

且S是以u为自变量的增函数，

所以≤S<2                                     

（ii）当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=，

S=|PQ|·|MN|=2.

综合（i），（ii）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。