Question

已知函数的极小值大于零，其中，．

（I）求的取值范围；

（II）若在的取值范围内的任意，函数在区间内都是增函数，

求实数的取值范围；

（III）设，，若，求证：．

Answer 1

解：（I）令得

函数存在极值，，                                …………（1分）

由及（I），只需考虑的情况．当变化时，的符号及的变化情况如下表：

		0
	＋	0	－	0	＋
		极大值		极小值

因此，函数在处取得极小值且

                                                            …………（3分）

要使必有可得

所以的取值范围是                         …………（5分）

（II）由（I）知，函数在区间与内都是增函数．

由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组

，或，

∵∴要使不等式关于参数恒成立，必有

解得或，所以的取值范围是       …………（10分）

（III）用反证法证明：

假设，则，或，∵，，

∴，或

当时，∵函数在区间内是增函数，

∴，即矛盾；

当时，∵函数在区间内是增函数，

∴，即也矛盾；

故假设不成立，即成立．                            …………（14分）