Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，DB∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点．
（1）求证：EF⊥平面BCD；
（2）求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）找BC中点G点，连接AG，FG，证明EF∥AG，然后证明AG⊥平面BCD，说明EF⊥平面BCD．
（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出C，E，F，

ED

，

CF

的坐标，设平面CEF的法向量为

n

=(x，y，z)，利用

CE • n =0 CF • n =0

，求出

n

，说明平面ABC的法向量为

u

=(0，0，1)，利用cos(

n

，

u

)=

n • u

| n || u|

，即可得到平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

解答：解：（1）找BC中点G点，连接AG，FG
∴F，G分别为DC，BC中点
∴F

G

∥ =

1

2

D

B

∥ =

EA
∴四边形EFGA为平行四边形∴EF∥AG
∵AE⊥平面ABC，BD∥AE
∴DB⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD．
∴平面ABC⊥平面BCD
又∵G为BC中点且AC=AB=BC∴AG⊥BC
∴AG⊥平面BCD
∴EF⊥平面BCD
（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则C(

3

2

，0，0)，E(0，-

1

2

，1)，F(

3

4

，

1

4

，1)，

ED

(-

3

2

，-

1

2

，1)，

CF

(-

3

4

，

1

4

，1)
设平面CEF的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

CE • n =- 3 2 x- 1 2 y+z=0 CF • n =- 3 4 x- 1 4 y+z=0

得

n

=(

3

，-1，1)
平面ABC的法向量为

u

=(0，0，1)
则cos(

n

，

u

)=

n • u

| n || u|

=

1

5

=

5

5

∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和计算能力．