Question

．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c²=a²+b²-ab．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)，试求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用余弦定理求出cosC，然后求角C；
（Ⅱ）设

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)，通过向量的数量积，利用二倍角公式，通过配方法结合角的范围求出表达式的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-(a2+b2-ab)

2ab

=

1

2

又0＜C＜π∴C=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）∵

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)
∴

m

•

n

=3sinA+cos2A=3sinA+1-2sin2A=-2(sinA-

3

4

)2+

17

8

由（Ⅰ）知   0＜A＜

2π

3

∴0＜sinA≤1
∴当sinA=

3

4

时，

m

•

n

取最大值

17

8

．…（12分）

点评：本题考查余弦定理的应用，向量的数量积与二倍角公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．