Question

等差数列{a_n}的各项为正整数，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂•S₂=16，b₃是a₁、a₂的等差中项
（1）求a_n与b_n；        
（2）求证：++…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用b₂•S₂=16，b₃是a₁、a₂的等差中项，即可列出方程组求的q、d的值，进而获得问题的解答；
（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后裂项求和法求出和，最后利用放缩法即可获得问题的解答．
解答：解：（1）由已知可得．
解得，q=2，d=2
∴a_n=3+（n-1）2=2n+1
∴b_n=2^n-1
（2）证明：∵∴
∴
=
=（--）
∵n≥1∴0＜，
∴（--）＜
故 ++…+＜．
点评：本题考查的是数列通项的求法与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、前n项和公式以及放缩法等知识．值得同学们体会反思．