Question

（04年全国卷Ⅱ）(12分) ．

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB＝90^o，AC＝1，CB＝，侧棱AA₁＝1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．

(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；

(Ⅱ)求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小．

Answer 1

解析：解法一：(I)如图，连结CA₁、AC₁、CM，

则CA₁=，

∵CB=CA₁=，∴△CBA₁为等腰三角形，

又知D为其底边A₁B的中点，∴CD⊥A₁B，

∵A₁C₁=1，C₁B₁=，∴A₁B₁=，

又BB₁=1，∴A₁B=2，

∵△A₁CB为直角三角形，D为A₁B的中点，CD=A₁B=1，CD=CC₁

又DM=AC₁=，DM=C₁M，∴△CDN≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°,即CD⊥DM，

因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM

(II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B₁G、FG、B₁F，

则FG∥CD，FG=CD∴FG=，FG⊥BD.

由侧面矩形BB₁A₁A的对角线的交点为D,知BD=B₁D=A₁B=1，

所以△BB₁D是边长为1的正三角形，于是B₁G⊥BD，B₁G=，

∴∠B₁GF是所求二面角的平面角

又B₁F²=B₁B²+BF²=1+()²=.

∴cos∠B₁GF=

即所求二面角的大小为π-arccos

解法二：如图以C为原点建立坐标系

(I):B(,0,0),B₁(,1,0),A₁(0,1,1),D(,,),

M(,1,0),(,,),(,-1,-1),

(0,,-), 

∴CD⊥A₁B,CD⊥DM.

因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，

所以CD⊥平面BDM

(II):设BD中点为G，连结B₁G，则G(-,,)，∴，∴BD⊥B₁G，又CD⊥BD，∴与的夹角等于所求二面角的平面角，

cos

所以所求二面角的大小为π-arccos