若非零向量$\vec a$与向量$\vec b$的夹角为钝角.$|{\vec b}|=2$.且当$t=-\frac{1}{2}$时.$|{\vec b-t\vec a}|$取最小值$\sqrt{3}$．向量$\vec c$满足$⊥$.则当$\vec c•$取最大值时.$|{\vec c-\vec b}|$等于( )A．$\sqrt{6}$B．$2\sqrt{3}$C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．若非零向量$\vec a$与向量$\vec b$的夹角为钝角，$|{\vec b}|=2$，且当$t=-\frac{1}{2}$时，$|{\vec b-t\vec a}|$（t∈R）取最小值$\sqrt{3}$．向量$\vec c$满足$（{\vec c-\vec b}）⊥（{\vec c-\vec a}）$，则当$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值时，$|{\vec c-\vec b}|$等于（　　）

A．

$\sqrt{6}$

B．

$2\sqrt{3}$

C．

$2\sqrt{2}$

D．

$\frac{5}{2}$

分析作出示意图，寻找$|{\vec b-t\vec a}|$在何时取得最小值，计算出向量$\vec a$与向量$\vec b$的夹角及|$\overrightarrow{a}$|，由$（{\vec c-\vec b}）⊥（{\vec c-\vec a}）$可知$\vec c$的终点在一个圆周上，结合图象，找出当$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值时C的位置，进行几何计算即可求出．

解答解：设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{MC}$，如图：
∵向量$\vec a$，$\vec b$的夹角为钝角，
∴当$\vec a$与$\vec b-t\vec a$垂直时，$|{\vec b-t\vec a}|$取最小值$\sqrt{3}$，即$\vec a⊥（{\vec b+\frac{1}{2}\vec a}）$．
过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD=$\sqrt{3}$，
∵|$\overrightarrow{b}$|=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即$\vec a$与$\vec b$夹角为120°．
∵$\vec a⊥（{\vec b+\frac{1}{2}\vec a}）$，∴$\overrightarrow{a}•$（$\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$）=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos120°+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|=2，即MA=2，
∵$（{\vec c-\vec a}）⊥（{\vec c-\vec b}）$，∴$\vec c$的终点C在以AB为直径的圆O上，
∵O是AB中点，∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{MO}$，
∴当M，O，C三点共线时，$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值，
∵AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴OB=0C=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，
∵MA=MB=2，O是AB中点，∴MO⊥AB，
∴∠BOC=∠MOA=90°，
∴|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$|=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{6}$．
故选：A．