Question

【题目】已知，函数，．

（Ⅰ）求函数在处的切线；

（Ⅱ）若函数在处有最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根据导数的几何意义求切线斜率，从而写出切线的方程；（Ⅱ）利用“先必要，后充分”的方法缩小参数范围，减少分类讨论的情形，并通过导数研究函数的单调性，从而判断并求解函数在给定区间内的最值．

解：（Ⅰ）因为，

则，又有，

故函数在处的切线为．

（Ⅱ）由知函数的图象过定点，且，又因为函数在处有最大值，则，即．

当时，在上恒成立，在上单调递增，所以在处有最大值，符合题意；

当时，，令，则，，从而知在上单调递增，上单调递减，上单调递增，故函数在上的最大值为或．

又因为，所以，即，令，则在上单调递增，且，可得，则．

综上，实数的取值范围为